Lagrange-Bewegungsgleichungen


Lagrange-Bewegungsgleichungen
Lagrange-Bewegungsgleichungen
 
[la'grãʒ-; nach J. L. de Lagrange], Lagrange-Gleichungen, Mechanik: Bewegungsgleichungen für ein System aus N Punktmassen. Die Lagrange-Bewegungsgleichungen erster Art,
 
folgen aus dem alembertschen Prinzip. Darin sind die Ki die auf die i-te Punktmasse (Masse mi, Ortsvektor ri) wirkenden eingeprägten Kräfte und die Zi die durch n < 3N Bedingungsgleichungen beschriebenen Zwangskräfte. Die Lösung dieses Systems von 3N Differenzialgleichungen 2. Ordnung unter Beachtung der n Bedingungsgleichungen liefert die 3N kartesische Koordinaten xi, yi, zi sämtlicher Punktmassen als Funktionen der Zeit t. Führt man anstelle der kartesischen Koordinaten durch eine Transformation unter Beachtung der n Nebenbedingungen die f = 3Nn verallgemeinerten Koordinaten qk (k = 1, 2,. .., f) sowie die zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeiten q̇k und verallgemeinerten Kräfte Qk ein, so ergeben sich die Lagrange-Bewegungsgleichungen zweiter Art
 
Dabei ist T = T (q, q̇, t) die kinetische Energie (q und q̇ stehen für alle f verallgemeinerten Koordinaten beziehungsweise verallgemeinerten Geschwindigkeiten). Lassen sich die Qk aus einem verallgemeinerten Potenzial U (q, q̇, t) ableiten,
 
so gehen diese Differenzialgleichungen 2. Ordnung über in
 
wobei L = TU die Lagrange-Funktion des Systems ist. Die Lagrange-Bewegungsgleichungen zweiter Art werden häufig als Lagrange-Gleichungen schlechthin bezeichnet, besonders in der zweiten Form, in der sie auch aus dem Hamilton-Prinzip, einem Variationsprinzip, gewonnen werden können, für welches sie die Euler-Lagrange-Differenzialgleichungen sind (Variationsrechnung).

Universal-Lexikon. 2012.

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